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  第五章 频率个性法 第四节 用频率个性法剖析 编制安祥性 一、开环频率个性和闭环特色式的闭联 二、相角转化量和编制安祥性的闭联 三、乃魁斯特安祥判椐 四、含有积分闭节的奈氏判椐 五、对数频率安祥判椐 编制的相对安祥性及安祥裕量 六、编制的相对安祥性及安祥裕量 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 一 、开环频率个性和闭环特色 式的闭联 C(s) 闭环通报函数为: is+1) kpΠ(s-si) 闭环通报函数为kf Π(T : N(s) +M(s) 编制的布局图 = n i= N1(s) =– ni=G(s) G(s) 1 B(s) = Φ(s)= = N(s) Π(Tjs+1) (s) = 1 j=0 D(s) 1+G(s)H(s) 1+ M Π(s-p ) j=1 j=1 设编制的开环通报函数: 设编制的开环通报函数: N (s) =0H(s) 由上式可知 N2(s)M1(s) 开环特色众项式: 开环特色众项式: = N(s)M1(s) H(s)= M2(s) G(s)= +M(s) N2(s) (s) F(s)的零点 —编制闭环特色方程式的根 的零点 N1编制闭环特色方程式的根 闭环特色众项式: 闭环特色众项式: M (s) M1(s)·M2(s) 设 F(s)=1+G(s)H(s) = 1+ M (s) G(s)H(s)= N(s) = N (s)·N (s) F(s)的顶点 —编制开环特色方程式的根 的顶点 编制开环特色方程式的根 N 1 2 R(S) M1(s) n n 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 二、相角转化量和编制安祥性的闭联 1 相角转化量 G(s)=TS+1 G(jω)=jωT+1 相角转化量为: 相角转化量为: ? ∠(jωT+1) =φ(∞) –φ(0) =90o -0o =90o TS+1的幅相频率个性弧线 的幅相频率个性弧线 Re 根的实部为负,编制稳 根的实部为负, 相角增量为90 定,相角增量为 0 。 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 TS-1 因子的相角转化量为: 因子的相角转化量为: ω=0→∞ ? ∠(jωT-1) TS-1幅相频率个性弧线 幅相频率个性弧线o 根的实部为正, 根的实部为正, 编制担心祥, 编制担心祥,相角 增量为-90 增量为 0 。 ω ω=0 0 Re 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 2 .编制特色式的相角转化量 编制特色式的相角转化量 设编制为n阶 设编制为 阶 ? ∠F(jω)=0 此时必有 D(jω) ω=0→∞ F(jω)=1+G(jω)H(jω) = N(jω) 若开环编制是安祥的,闭环编制安祥, 若开环编制是安祥的,闭环编制安祥, 相角转化量为: 相角转化量为: 弧线绕原点相角转化量为零。 则F(jω)弧线绕原点相角转化量为零。 弧线绕原点相角转化量为零 ? ∠F(jω)= ? ∠D(jω)- ? ∠N(jω) ω=0→∞ ω=0→∞ ω=0→∞ 1)编制开环安祥 ) 则 ? ∠N(jω)=n·90o ω=0→∞ ? ∠D(jω)=n·90o 设闭环编制安祥, 设闭环编制安祥,则 ω=0→∞ 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 2)编制开环有p个担心祥顶点 )编制开环有 个担心祥顶点 n-p个安祥顶点 个安祥顶点 若编制开环有p担心祥顶点 担心祥顶点, 若编制开环有 担心祥顶点,则闭环 ? ∠N(jω)=(n-p)·90o-p·90o =(n-2p)·90o ω=0→∞ 安祥的充要要求是 的充要要求是: 弧线相角转化 安祥的充要要求是: F(jω)弧线相角转化 弧线 设编制闭环安祥, 设编制闭环安祥, 周 量为p.1800 ,即p/2则 。 量为 ? ∠D(jω)=n·90o ω=0→∞ ? ∠F(jω) =ω=0→∞∠D(jω) -ω=0→∞ N(jω) ? ?∠ ω=0→∞ =n·90o-(n-2p)·90o=2p·90o=p·180o 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 三 、奈魁斯特安祥判据 F(s)=1+G(s)H(s) F(jω) —原点 原点 Im 1+G(jω)H(jω) G(jω)H (jω) — (-1,j0)点 点 Im G(jω)H(jω) -1 0 0 1 ω Re ω Re 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 奈氏安祥判据可外述为: 奈氏安祥判据可外述为: 设开环通报函数有p 个担心祥的顶点, 设开环通报函数有 个担心祥的顶点, 当ω=0→∞ 时,编制开环幅相个性弧线 G(jω)H (jω) 逆时针倾向绕 逆时针倾向绕(-1,j0)点的周数 点 N=p/2 ,即转过p.1800则闭环编制是安祥 即转过 不然,闭环编制担心祥。 的 。不然,闭环编制担心祥。 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 已知编制的奈氏弧线,试占定编制的 例 已知编制的奈氏弧线 试占定编制的 安祥性。 安祥性。 解: 编制的 编制的G(jω)H (jω)弧线如图 弧线如图 Im Im P=2 ω ω=∞ P=1 ω=0-1 ω=∞ 0 ω=0 Re Re -1 ω 0 (a) (b) p=1,相角转化量为-1800 ,编制担心祥。 ,相角转化量为 p=2,相角转化量为 × 1800 编制担心祥。 编制安祥。 ,相角转化量为2× ,编制安祥。 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 四、含有积分闭节的奈氏判椐 若编制开环通报函数中蕴涵有ν个积 若编制开环通报函数中蕴涵有 个积 分闭节,则先绘出ω=0+→∞的幅相频率特 分闭节,则先绘出 的幅相频率特 性弧线,然后将弧线举行厘正后,再运用 性弧线,然后将弧线举行厘正后, 奈氏判据来占定编制的安祥性。 奈氏判据来占定编制的安祥性。 厘正举措: 厘正举措:正在ω=0+开头, 逆时针倾向 开头, 补画一个半径无限大、相角为υ. 补画一个半径无限大、相角为 900的大 圆弧, 的弧线+的弧线。 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 为积分闭节的个数, 为担心祥顶点 例 υ为积分闭节的个数, p为担心祥顶点 为积分闭节的个数 的个数,试占定闭环编制的安祥性。 的个数,试占定闭环编制的安祥性。 解: 编制的奈氏弧线 (d) Im υ =3 Im π Im Im (c) (b) (a) 2 υ =2 R=∞ υ =1 -1 ω=0+ -1 ω=0 υ =1 -1 -1 ω=∞ ω=0 ω=∞ ω=0 ω=∞ ω=0 00 0 Re Re 0 Re Re π -3π 2 -2 π 厘正 厘正 ω=0+ 奈氏弧线 , 奈氏弧线的相角转化量为 奈氏弧线 , 奈氏弧线的相角转化量为 奈氏弧线 , 编制是安祥的。 编制是安祥的。 编制是安祥的。 编制是安祥的。 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 例 已知编制开环通报函数试占定 闭环编制的安祥性。 闭环编制的安祥性。 K G(s)H(s)= S(TS-1) 奈氏弧线: 奈氏弧线: 编制开环频率个性为: 解: 编制开环频率个性为: ω=0+ 迥殊点: 迥殊点: Im K G(jω)H(jω)= jω(jωT-1) 弧线o K A(ω)=∞ 点的, A(ω)= ω 1+(ωT)2 因此编制担心祥。 ω=∞ 因此编制担心祥。 ω= ∞ 0 Re ω=0 -1 o-tg-1 ωT φ(ω)=-90 A(ω)= 0 φ(ω)=180o -1 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 例 设编制的开环通报函数为试占定闭环 编制的安祥性 的安祥性。 编制的安祥性。 K(T1S+1) G(s)H(s)= 2 S (T2S+1) 解:T 1) T1T2 2) T 奈氏弧线 )-1800 φ (0 ω=0+ + ω=0 -1 Im Im ω=∞ ω=0 ω=∞ ω=0 Re -1 0 0 Re 弧线)点, 弧线困绕了 点 弧线)点, 点 弧线没有困绕 编制担心祥。 编制担心祥。 编制是安祥的。 编制是安祥的。 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 五、对数频率安祥判据 若原则G(jω)H(jω)弧线沿相角增长的方 弧线沿相角增长的方 若原则 从上往下穿越负实轴上 实轴上(-1,j0)点左侧为 点左侧为 向,从上往下穿越负实轴上 点左侧 正穿越,正穿越次数为N 正穿越,正穿越次数为N+ 。从下往上的穿越 为负穿越,负穿越次数为N 为负穿越,负穿越次数为 -。G(jω)H (jω)曲 曲 线肇始或终止于负实轴上,算作1/2 次穿越。 次穿越。 线肇始或终止于负实轴上,算作 奈氏安祥判据可外述为: 奈氏安祥判据可外述为: P N=N N = 2 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 编制的奈氏图与伯德图的对应闭联 -1, j0 _ + Im G(jω) H(jω) ω=∞ ω=0 Re 0 0 Φ(ω) 0 ωc ω ω ω -π _ + 奈氏安祥判据用于对数频率个性弧线: 奈氏安祥判据用于对数频率个性弧线区段内,奈氏弧线对 区段内, 区段内 奈氏弧线线的 负穿越次数之差为p/2,则编制安祥。 正、负穿越次数之差为 ,则编制安祥。 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 例5-12 试用奈氏安祥判据和对数频率稳 -22ω+j(0.4ω2-100) = 定判据判别闭环编制的安祥性。 ω[(1+0.0004ω2)(1+0.04ω 定判据判别闭环编制的安祥性。 2)] 100 G(s)H(s)=: Q(ω)=0.4ω2-100=0 令虚部等于零: 令虚部等于零 S(1+0.02S)(1+0.2S) 得 ω2 =250 绘出编制奈氏弧线) 绘出编制奈氏弧线,多赢彩票官网登陆并确定弧线 求出弧线与实轴的交点: 求出弧线与实轴的交点: 与实轴的交点。 与实轴的交点。 Im -22 P(ω)= G(jω)H(jω)= 2)(1+0.04ω2) ωω=∞ ω=0 2 (1+0.0004ω -1 0=250 Re 100 22 =- 12.1 jω(1+0.02 jω)(1+0.2 jω) 1,编制担心祥。 编制担心祥。 ∣P(ω) ︱ 编制担心祥 + ω=0 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 2) 编制的伯德图 改观频率: 改观频率: ω 1=5, ω 2=50 P N -N =-1≠ 2 + 40 20 0 -20 L(ω)/dB -20dB/dec -40dB/dec ωc 5 50 ω -60dB/dec 编制担心祥。 编制担心祥。 0 -90 -180 ω _ 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 六、编制的相对安祥性及安祥裕量 按照奈氏判据可知,最小相位编制 按照奈氏判据可知, 是否安祥,闭键看G(jω)H (jω) 弧线是否 是否安祥,闭键看 绕过点(-1,j0) 。奈氏弧线离点 奈氏弧线) 越 绕过点 则编制的相对安祥性越好。 远,则编制的相对安祥性越好。可用相 位裕量和幅值裕量两个机能目标来量度 来量度编制的相对安祥性。 来量度编制的相对安祥性。 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 1 . 相位裕量 相位裕量γ G(jωc)H (jωc) =1 正相位 裕量 γ ωc Im G(jω) 0 Re ωc —穿越频率 穿越频率 相位裕量: 相位裕量: γ =φ(ωc) +180o γ 00 — 编制安祥 γ 00 — 编制担心祥 负相位 ωc 裕量 γ φ Im 0 G(jω) Re φ 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 2. 幅值裕量 g 幅值裕量K 正幅值裕量 1 Kg -1 Im φ(ωg)=-180o 幅值裕量: 幅值裕量: 1 Kg= G(jωg)H(jωg) = 1 A(jωg) Kg1 Kg1 编制安祥 编制担心祥 ωg 0 Re G(jω) 负幅值裕量 ωg -1 1 Kg Im 0 Re G(jω) 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 对数弧线上相位和幅值裕量 对数弧线上相位和幅值裕量: 相位和幅值裕量 L(ω)/dB 0 正幅值裕量 1 20lg ω Kg 0 L(ω)/dB 1 Kg 负幅值裕量 ωc ω ωc 20lg -90 -90 -180 γ ωg ω -180 ωg γ ω 正相位裕量 负相位裕量 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 已知编制的开环通报函数,求编制的幅 例 已知编制的开环通报函数 求编制的幅 1 值裕量和相位裕量. 值裕量和相位裕量 G(s)H(s)= S(S+1)(0.1S+1) 解可得幅值裕量: 2 ) :绘制出编制奈氏图: 可得幅值裕量: 绘制出编制奈氏图 -110ω -j10(10-ω = Im ω [(10-ω 2 )2 -(j11ω)2] 1 1 求弧线与实轴的交点: 求弧线与实轴的交点 Kg= = 11 Kg -1 P(ω -110ω G(jω)H(jω) g) =ω 4 2 0 Re 1 +110ω )H(jωg) =1 +100 令:G(jωg γ 1 = jω(jω+1)H(0.1jω+1) 10(10-ω2 ) G(jω) -j 4 2 得: ω c +110ω +100 ω =0.784 10 = =P(ω)+jQ(ω) ) γ=jω(jω+1)H(jω+10) 180o+Φ(ωc 1 =令: o 2 o -1 得: -1g =3.16 ω Q(ω)=0 ω 180 -90 )+j110ω ][(10-ω 2×0.78 = 47.4o )-j11ω+1) = [(10-ω -tg 0.78-tg 0.1× 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 某职位限定编制的布局如图。 例 某职位限定编制的布局如图。试绘制 编制开环的伯德图, 编制开环的伯德图,并确定编制的相 位安祥裕量γ 位安祥裕量 。 θr(s) – 10 S(0.25S+1)(0.1S+1) θc(s) 绘制出编制伯德图如图: 解: 绘制出编制伯德图如图 第四节 用频率个性法剖析编制安祥性 10 =180o-90o-tg-10.25×6.23-tg-10.1×6.23 × × G(s)= S(0.25S+1)(0.1S+1) o-57.67o-32.3o= 0.03o =90 L(ω)/dB 40 20 0 -20 -20dB/dec 6.32 4 由图用近似计 算式可确定ω 。 算式可确定 c。 10 ≈1 0.25ωc2 ωc=6.32 γ=180o+Φ(ωc) 返回 -40dB/dec 10 ω -60dB/dec 0 -90 -180 ω γ

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